高考试题(天津卷)--数学文科+(答案解析版)

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(文史类)本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至3页。第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．答I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。参考公式：如果事件A、B互斥，那么棱柱的体积公式V=Sh.()()()PABPAPB其中S表示棱柱的底面积.h表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)i是虚数单位，复数31ii=(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i(D)2-i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2iiiiiiii（）()【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。(2)设变量x，y满足约束条件3,1,1,xyxyy则目标函数z=4x+2y的最大值为（A）12（B）10（C）8（D）2【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为(A)-1(B)0(C)1(D)3【答案】B【解析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0.【温馨提示】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。（4）函数f（x）=2xex的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。因为f（0）=-1<0f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。(5)下列命题中，真命题是(A)mR,fxxmxxR2使函数（）=（）是偶函数(B)mR,fxxmxxR2使函数（）=（）是奇函数(C)mR,fxxmxxR2使函数（）=（）都是偶函数(D)mR,fxxmxxR2使函数（）=（）都是奇函数【答案】A【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。(6)设554alog4blogclog25，（3），，则(A)a0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。M<0，时有22111102()012mmxmxmxmxmxxmxm因为22yx在[1,)x上的最小值为2，所以1+212m即2m>1,解得m<-1.【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在ABC中，coscosACBABC。（Ⅰ）证明B=C：（Ⅱ）若cosA=-13，求sin4B3的值。【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得sinBsinC=cosBcosC.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为BC，从而B-C=0.所以B=C.（Ⅱ）解：由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=13.又0<2B<,于是sin2B=21cos2B=223.从而sin4B=2sin2Bcos2B=429，cos4B=227cos2sin29BB.所以4273sin(4)sin4coscos4sin33318BBB（18）（本小题满分12分）有编号为1A,2A,…10A的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分12分【解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）=610=35.（Ⅱ）（i）解：一等品零件的编号为123456,,,,,AAAAAA.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：121314,,,,,AAAAAA,1516,,,AAAA,23,AA,2425,,,AAAA,263435,,,,,AAAAAA,364546,,,,,AAAAAA,56,AA共有15种.(ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：141646,,,,,AAAAAA，232535,,,,,AAAAAA，共有6种.所以P(B)=62155.（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=22，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故CED为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在Rt△CDE中，CD=1，ED=22，CE=22CDED=3,故cosCED=EDCE=223.所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为223.(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则45BGACDA.由45BAD,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=2，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则GNM为二面角B-EF-A的平面角。连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=22.由NG//FA,FAGM,得NGGM.在Rt△NGM中，tanGM1NG4GNM,所以二面角B-EF-A的正切值为14.（20）（本小题满分12分）已知函数f（x）=3231()2axxxR，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=323xx12，f（2）=3；f’(x)=233xx,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=2333(1)axxxax.令f’(x)=0，解得x=0或x=1a.以下分两种情况讨论：（1）若110a2a2，则，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X102，0120，f’(x)+0-f(x)极大值当11xfx22，时，（）>0等价于5a10,()0,8215a()0,0.28ff即解不等式组得-52，则110a2.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X102，01a0，1a11a2，f’(x)+0-0+f(x)极大值极小值当11x22，时，f（x）>0等价于1f(-)21f()>0,a>0,即25811->0.2aa>0,解不等式组得252a或22a.因此2b>0）的离心率e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.（i）若42AB5||=，求直线l的倾斜角；（ii）若点Qy0（0，）在线段AB的垂直平分线上，且QAQB=4.求y0的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.（Ⅰ）解：由e=32ca，得2234ac.再由222cab，解得a=2b.由题意可知12242ab，即ab=2.解方程组2,2,abab得a=2，b=1.所以椭圆的方程为2214xy.(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为11(,)xy，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组22(2),1.4ykxxy消去y并整理，得2222(14)16(164)0kxkxk.由212164214kxk，得2122814kxk.从而12414kyk.所以222222228441||2141414kkkABkkk.由42||5AB，得224142145kk.整理得42329230kk，即22(1)(3223)0kk，解得k=1.所以直线l的倾斜角为4或34.（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为22282,1414kkkk.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是002,,2,.QAyQBy由4QAQB，得y220。（2）当0k时，线段AB的垂直平分线方程为2222181414kkyxkkk。令0x，解得02614kyk。由02,QAy，110,QBxyy，210102222228646214141414kkkkQAQBxyyykkkk4222416151414kkk，整理得272k。故147k。所以02145y。综上，022y或02145y（22）（本小题满分14分）在数列na中，1a=0，且对任意k*N，2k12k2k+1a,a,a成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明456a,a,a成等比数列；（Ⅱ）求数列na的通项公式；（Ⅲ）记2222323nnnTaaa，证明n32nT2n2（2）.【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（I）证明：由题设可知，2122aa，3224aa，4348aa，54412aa，65618aa。从而655432aaaa，所以4a，5a，6a成等比数列。（II）解：由题设可得21214,*kkaakkN所以2112121212331...kkkkkaaaaaaaa441...41kk21,*kkkN.由10a，得2121kakk，从而222122kkaakk.所以数列na的通项公式为221,2,2nnnann为奇数为偶数或写为21124nnna，*nN。（III）证明：由（II）可知2121kakk，222kak，以下分两种情况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m*mN若1m，则2222nkkkna，若2m，则22222112211112212214441221nmmmmkkkkkkkkkkkkkkaaakkk21111441111222212121mmkkkkmmkkkkkk11312211222mmnmn.所以223122nkkknan，从而22322,4,6,8,....2nkkknna（2）当n为奇数时，设21*nmmN。22222222121213142221nmkkkkmmmkkmaaammm11314222121mnmn所以2231221nkkknan，从而22322,3,5,7,....2nkkknna综合（1）和（2）可知，对任意2,*,nnN有322.2nnT